Mathematische Rätsel

Die folgenden Rätsel brauchen leider etwas Mathematik...
Trotzdem für Interessierte hier zur Ansicht: (oder gibts Lösungen ohne viel Math?):


Prinzessin

Es war einmal ein Königreich, in dem eine junge Prinzessin lebte. Als die Prinzessin ihren 18. Geburtstag feierte, beschloss ihr Vater, der König, dessen einziges Kind sie war, dass es nun an der Zeit für Sie wäre zu heiraten.
Er lud daher 20 geeignete Kandidaten auf das Schloss ein, sich der Prinzessin vorzustellen. Der Reihe nach traten die Jünglinge vor die Prinzessin (die die Kandidaten bei dieser Gelegenheit zum ersten Mal sah) und versuchten sie von sich zu überzeugen.
Ein jeder wollte sofort nach seinem Auftritt von der Prinzessin wissen, ob sie ihn denn zu nehmen gedenke. Verneinte oder zögerte die Prinzessin, zogen sich die Bewerber enttäuscht zurück und verliessen das Schloss auf der Stelle um nie wieder zurück zu kehren.
Wie sollte die Prinzessin vorgehen, um – obgleich sie keinen der Bewerber je zuvor gesehen hatte – möglichst den besten Kandidaten zu erwischen?

variante davon:

Wie ist es wenn 20 Geldbeträge zwischen 0 und 1000 Fr (zufällig, gleichverteilt) angeboten werden. Ein Angebot muss ebenfalls definitiv angenommen oder abgelehnt werden, zu einem abgelehnten Angebot kann man nicht zurückkehren. Und man darf nur ein einziges Angebot annehmen.
Wie soll man vorgehen? - Hier kann man wohl auf einen maximalen Erwartungswert abzielen.


Arbeitskraft

Ein netter Chef gibt immer, wenn einer der Angestellten Geburtstag hat, dem ganzen Betrieb einen freien Tag.
Mit wievielen Angestellten erreicht er die maximale Arbeitsleistung?
(Der Einfachheit halber würde ich mal damit rechnen, dass ansonsten an 365 Tagen im Jahr gearbeitet wird und dass es kein Schaltjahr ist. - Aber die Rechnung lässt sich sonst auch auf irgendwelche 254(?) Arbeitstage pro Jahr hinunterrechnen...)


Das Loch in der Kugel

Ein zylindrisches Loch von 6 cm Länge ist genau durch den Mittelpunkt einer Kugel gebohrt worden. Wie gross ist der Inhalt der verbleibenden Kugel?


Schnecklein auf Gummiband

Ein beliebig dehnbares Gummiband habe am Anfang die Länge 1m und wird (gemäss Skizze) an einem Ende befestigt, am anderen mit 1 m/sec ausgezogen. (Die Streckung verteilt sich gleichmässig.)
Zur gleichen Zeit startet eine (punktförmige) Schnecke am fixen Ende und will das Gummiband überqueren. Aus eigener Kraft schafft sie 1 mm/sec. Wird die Schnecke je das andere Ende des Bandes erreichen? wann?


und das ist gar kein Rätsel, aber trotzdem interessant:

Magischer Trichter

Man zeichne im üblichen Koordinatensystem im Bereich x>1 den Graph der Funktion y = 1/x ein und rotiere diesen Graph um die x-Achse. Dabei überstreicht er die Oberfläche eines magischen Trichters.
Eine einfache Integralrechnung zeigt: Das Trichtervolumen ist Pi, also endlich. Die Oberfläche hingegen ist unendlich.


D.h., man kann den Trichter zwar mit flüssiger Farbe füllen, (obwohl er eine etwas lange Spitze hat), ihn aber nicht anmalen, denn seine Oberfläche ist unendlich gross. Bizzarr, oder?



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